Gdy rozpatrywaliśmy (w module Siły zachowawcze i niezachowawcze ) ruch ciała pod wpływem siły grawitacji lub siły sprężystości widzieliśmy, że energia kinetyczna poruszającego się ciała zmieniała się (malała i rosła) podczas ruchu, tak że w cyklu zamkniętym powracała do początkowej wartości. W tej sytuacji, gdy działają siły zachowawcze, do opisania tych zmian celowe jest wprowadzenie pojęcia energii potencjalnej \( E_{p} \). Mówimy, że zmianie energii kinetycznej ciała o wartość \( \Delta E_k \) towarzyszy zmiana energii potencjalnej \( \Delta E_p \) tego ciała równa co do wartości, ale przeciwnego znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru

Każda zmiana energii kinetycznej ciała \( E_k \) jest równoważona przez zmianę energii potencjalnej \( E_p \), tak że ich suma pozostaje przez cały czas stała

Energię potencjalną można traktować jako energię nagromadzoną, która może być w przyszłości całkowicie odzyskana i zamieniona na inną użyteczną formę energii. Oznacza to, że nie możemy wiązać energii potencjalnej z siłą niezachowawczą. Energię potencjalną często nazywa się energią stanu. Mówimy, że jeżeli energia układu zmieniła się to zmienił się stan układu.

Z twierdzenia o pracy i energii Energia kinetyczna-( 6 ) wynika, że

więc zgodnie z wprowadzonym pojęciem energii potencjalnej, dla zachowawczej siły \( F \), zachodzi związek

Korzystając z ogólnego wzoru na pracę Praca wykonana przez siłę zmienną-( 3 ) otrzymujemy ogólną zależność

Możemy również zapisać zależność odwrotną między siłą i energią potencjalną

Zauważmy, że na podstawie równania ( 5 ) potrafimy obliczyć zmianę energii potencjalnej \( \Delta E_p \), a nie samą energię potencjalną \( E_p \). Ponieważ \( \Delta E_p=E_p(r)-E_p(r_0) \), to żeby znaleźć \( E_p(r) \) trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość \( E_p(r_0) \)

Punkt \( r_0 \) nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak, żeby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia \( E_p(r_0) \) była równa zeru. Jako punkt odniesienia \( r_0 \) często wybiera się położenie, w którym siła działająca na ciało jest równa zeru. Trzeba jednak podkreślić, że wybór punktu odniesienia jest sprawą czysto umowną.

Energia potencjalna związana z siłą grawitacyjną wynosi \( mgy \), gdzie \( y \) jest wysokością ponad punktem (poziomem) odniesienia i jest równa pracy jaką trzeba wykonać przy podnoszeniu ciała na tę wysokość (przykład Energia i praca wykonana przez siłę stałą-Sanki ). Energia potencjalna przedstawia tu formę nagromadzonej w wyniku wykonanej pracy energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną, podczas spadku ciała z danej wysokości.

W analogiczny sposób obliczymy teraz energię potencjalną idealnej nieważkiej sprężyny. Gdy sprężyna jest rozciągnięta na odległość \( x \) od położenia równowagi to siła sprężystości wynosi \( F = - kx \). Jako punkt odniesienia przyjmujemy tym razem \( x_0=0 \). Odpowiada to położeniu równowagi, w którym sprężyna jest nierozciągnięta i siła sprężystości jest równa zeru. Energię potencjalną ponownie obliczamy z równania ( 7 ) przy czym korzystamy z podanego wyrażenia Praca wykonana przez siłę zmienną-( 4 ) na pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny

Spróbuj teraz, korzystając z definicji energii potencjalnej, wykonać następujące ćwiczenie

Zadanie 1: Dwa klocki

Treść zadania:

Dwa klocki o masach \( m_1 \) i \( m_2 \) są połączone cienką linką przerzuconą przez nieważki bloczek tak jak na rysunku obok. W układzie występuje tarcie pomiędzy masą \( m_1 \) i stołem. Układ pozostający początkowo w spoczynku zostaje puszczony i masa \( m_2 \) opada na podłogę.

Rysunek 1:

Określ, w chwili gdy klocek \( m_2 \) dociera do podłogi, jaki znak (+/-) ma:
1) energia potencjalna klocka \( m_1 \) względem podłogi,
2) energia potencjalna klocka \( m_2 \) względem stołu,
3) praca wykonana przez siłę grawitacji,
4) praca wykonana przez siłę tarcia,
5) zmiana energii potencjalnej układu,
6) zmiana energii kinetycznej klocka \( m_1 \),
7) zmiana energii kinetycznej klocka \( m_2 \).

Spróbuj też odpowiedzieć na następujące pytania:
1) Czy zmiana energii kinetycznej klocka \( m_1 \) jest większa, równa, czy mniejsza od zmiany energii kinetycznej klocka \( m_2 \) ?

2) Czy zmiana całkowitej energii kinetycznej układu jest co do bezwzględnej wartości większa, równa, czy mniejsza od zmiany energii potencjalnej układu?

Rozwiązanie:

Tabela 1

energia potencjalna klocka \( m_1 \) względem podłogi	+
energia potencjalna klocka \( m_2 \) względem stołu	-
praca wykonana przez siłę grawitacji	+
praca wykonana przez siłę tarcia	-
zmiana energii potencjalnej układu	-
zmiana energii kinetycznej klocka \( m_1 \)	+
zmiana energii kinetycznej klocka \( m_2 \)	+

1) Klocki (połączone nierozciągliwą nitką) poruszają się z takim samym przyspieszeniem, więc w każdej chwili posiadają taką samą prędkość \( v=v_{1}=v_{2} \), stąd ich energie kinetyczne (w dowolnej chwili) są odpowiednio równe

(10)

\( E_{{\mathit{k1}}}=\frac{m_{{1}}v^{{2}}}{2},\;\;\;\;E_{{\mathit{k2}}}=\frac{m_{{2}}v^{{2}}}{2} \)

Ponieważ, ich energie kinetyczne w chwili początkowej równe były zeru ( \( v_{0} \) = 0) to zmiany energii kinetycznej są równe właśnie powyższym wartościom \( E_k \)

(11)

\( \mathit{\Delta E}_{{\mathit{k1}}}=\frac{m_{{1}}v^{{2}}}{2},\;\;\;\;\mathit{\Delta E}_{{\mathit{k2}}}=\frac{m_{{2}}v^{{2}}}{2} \)

Widać, że bezwzględna zmiana energii kinetycznej zależy od masy ciała.

2) Zmiana całkowitej energii kinetycznej układu jest co do bezwzględnej wartości równa zmianie energii potencjalnej układu tylko wtedy gdy działają siły zachowawcze. Ponieważ występuje tarcie pomiędzy stołem i klockiem \( m_1 \), które jest siłą niezachowawczą, więc tylko część z nagromadzonej energii potencjalnej klocka \( m_2 \) jest podczas jego ruchu w dół zamieniana na energię kinetyczna (obu klocków). Bezwzględna zmiana energii kinetycznej jest więc mniejsza od bezwzględnej zmiany energii potencjalnej układu.